Page 1 - Λογισμός Μίας Μεταβλητής - Κεφάλαιο 1: Αριθμοί (Demo)
P. 1
Κεφ. 1 ΑΡΙΘΜΟΙ 1
Κεφάλαιο 1
ΑΡΙΘΜΟΙ
Ο (Απειροστικός) Λογισμός είναι ένα θέμα που διδάσκεται σε φοιτητές των
θετικών επιστημών στον πρώτο χρόνο της πανεπιστημιακής τους εκπαίδευσης.
Επομένως, είναι φυσικό να βασίζεται στην αριθμητική και την άλγεβρα, που δι-
δάσκονται στην πρωτοβάθμια και τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Για αυτό το λόγο
συνοψίζουμε όλη την απαραίτητη μαθηματική ύλη για σύνολα και αριθμούς που
χρειαζόμαστε πριν να εισέλθουμε στις συναρτήσεις. Ο φοιτητής και η φοιτήτρια
πρέπει να διαβάσουν το κεφάλαιο 1 και να αισθανθούν ότι το γνωρίζουν καλά.
Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί σε όλα τα είδη των αριθμών (πραγματικών και
μιγαδικών) και στον τρόπο με τον οποίο τους χρησιμοποιούμε. Η λογική σκέψη της
μαθηματικής επαγωγής πρέπει να γίνει πλήρως κατανοητή. Μετά ο φοιτητής και
η φοιτήτρια πρέπει να λύσουν πολλά προβλήματα, με όσο γίνεται λιγότερη βοήθεια.
1.1 Σύνολα
Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική και δεν μπορεί να οριστεί αυστηρά με
βάση άλλες προηγούμενες έννοιες. Θεωρείται ταυτόσημη με εκείνη της κλάσης, της
συλλογής ή της οικογένειας και σημαίνει ένα πλήθος διακριτών αντικειμένων που
έχουν μια κοινή ιδιότητα. Αυτή η ιδιότητα μπορεί να είναι οτιδήποτε και μπορεί να
αναφέρεται σαφώς ή να υπονοείται. Τα αντικείμενα-μέλη ενός συνόλου καλούνται
στοιχεία του συνόλου. Αν το a είναι στοιχείο του συνόλου S, συμβολίζεται με a ∈ S.
Αν το α δεν είναι στοιχείο του S, συμβολίζεται με a ∉ S. Συνήθως, τα στοιχεία ενός
συνόλου είναι της ίδιας “φύσης” (π.χ. αριθμοί ή εικόνες), αλλά όχι και τα δύο, αν και
αυτό δεν είναι απαραίτητο. Για να ορίσουμε ένα συγκεκριμένο σύνολο περικλείουμε
τα στοιχεία σε άγκιστρα, π.χ. γράφουμε S = {2, 4, 6, 8}, ή περιγράφουμε σαφώς τα
στοιχεία με την κοινή τους ιδιότητα, π.χ. S = {n : n άρτιος φυσικός αριθμός, n < 10}.
Ένα σύνολο που δεν έχει στοιχεία καλείται κενό ή μηδενικό και παριστάνεται
με ∅. Ένα σύνολο S έχει n στοιχεία, όπου n είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλ. 1, 2,
3, …), αν υπάρχει μια αντιστοιχία ένα-προς-ένα μεταξύ των στοιχείων του S και των
στοιχείων του {1, 2, 3, …, n}. Ένα σύνολο λέγεται πεπερασμένο, αν είναι κενό ή αν
έχει n στοιχεία, όπου n είναι ένας φυσικός αριθμός. Αλλιώς λέγεται άπειρο.
1
