Page 2 - Λογισμός Μίας Μεταβλητής - Κεφάλαιο 1: Αριθμοί (Demo)
P. 2

2                                ΑΡΙΘΜΟΙ                             Κεφ. 1


                Ένα  σύνολο  S  είναι  αριθμήσιμο  ή  μετρητικά  άπειρο,  αν  υπάρχει  μία  ένα-
            προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων του S και των φυσικών αριθμών. Ένα
            σύνολο είναι μετρήσιμο, αν είναι πεπερασμένο ή αριθμήσιμο. Αλλιώς, το S είναι
            υπεραριθμήσιμο ή μη μετρήσιμο. Προφανώς, το σύνολο των φυσικών αριθμών
            και το σύνολο των ακεραίων είναι αριθμήσιμα. Επίσης, μπορεί να δειχτεί ότι το
            σύνολο των ρητών αριθμών (δηλ. οι λόγοι των ακεραίων) είναι αριθμήσιμο. Όμως,
            το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο ή μη μετρήσιμο. Έπεται
            ότι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι επίσης μη μετρήσιμο.        Παρ
                Αν κάθε στοιχείο του συνόλου A είναι και στοιχείο του συνόλου Β, τότε λέμε
            ότι το A είναι υποσύνολο του B ή ότι το Β είναι υπερσύνολο του Α και γράφουμε
                      ⊇
                                         ⊇
                               ⊆
              ⊆
            A   B ή B  A. Αν A   B και A   B, τότε λέμε ότι τα σύνολα A και B είναι ίσα και
            γράφουμε A = B. Σε αυτή την περίπτωση τα A και B έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία.
            Αν το Β έχει όλα τα στοιχεία του Α και ένα τουλάχιστον περισσότερο, λέμε ότι το Α
            είναι γνήσιο υποσύνολο του Β ή ότι το Β είναι γνήσιο υπερσύνολο του Α.
                Για δύο σύνολα A και B ορίζουμε:
            Ένωση A ∪ B των Α και Β είναι το σύνολο, του οποίου κάθε στοιχείο ανήκει στο A
            ή στο B ή και στα δύο.
            Τομή A ∩ B των Α και Β είναι το σύνολο, του οποίου κάθε στοιχείο ανήκει και στο
            Α και στο B.
            Συμπλήρωμα A\B του B ως προς το A είναι το σύνολο του οποίου κάθε στοιχείο
            ανήκει στο A αλλά όχι στο B. (Βλέπε Πρόβλ. 1.49.)                     Επε
                Τα στοιχεία ενός συνόλου μπορεί να είναι σύνολα. Έτσι, π.χ., αν A = {a, a'}
            και B ={b, b', b''} είναι δύο σύνολα, τότε S = {A, B} είναι ένα σαφώς ορισμένο
            σύνολο. Ορίζουμε το διατεταγμένο ζεύγος (a, b) με τη σχέση (a, b) = {{a},{a, b}}.
            Η ισότητα (a, b) = (c, d) ισχύει αν και μόνο αν a = c και b = d (βλέπε Πρόβλ. 1.01).
                Για δύο μη κενά σύνολα A και B ορίζουμε το Καρτεσιανό γινόμενο A × B ως το
            σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών (a, b), με a ∈ A και b ∈ B. Αυτοί οι ορισμοί
            είναι η βάση για τη θεωρία των συναρτήσεων.                           Παρ

             1.2  Αριθμοί

                Τα διάφορα είδη αριθμών εξετάζονται συχνά ως στοιχεία διαφόρων συνόλων:
                Το σύνολο των φυσικών αριθμών ή θετικών ακεραίων  = {1, 2, 3, …}. Επε
                Το σύνολο των ακεραίων  = {0, 1, -1, 2, -2, …}.
                Το σύνολο των ρητών αριθμών  = {m/n : m, n ∈  and n ≠ 0}.
                Το σύνολο των πραγματικών αριθμών .                              Επε
                Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών .
   1   2   3   4   5   6