Page 4 - Λογισμός Μίας Μεταβλητής - Κεφάλαιο 1: Αριθμοί (Demo)
P. 4
4 ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφ. 1
Μιγαδικοί αριθμοί
Αν x και y είναι δύο πραγματικοί αριθμοί, z = x + iy είναι ένας μιγαδικός
2
αριθμός. Σε αυτό το συμβολισμό i είναι η φανταστική μονάδα με i = -1. Τα x και
y είναι το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του z. Ο συζυγής μιγαδικός του
z = x + iy είναι ο z* = x - iy.
Για να παραστήσουμε οπτικά τους μιγαδικούς αριθμούς χρησιμοποιούμε
το μιγαδικό επίπεδο, δηλ. ένα άπειρο επίπεδο με δύο άξονες κάθετους μεταξύ
τους (Σχ.1.2). Κάθε σημείο P(x, y) αυτού του επιπέδου παριστάνει ένα μοναδικό
μιγαδικό αριθμό με πραγματικό μέρος x και φανταστικό μέρος y ως ορθογώνιες
συντεταγμένες, που σημειώνονται στον πραγματικό άξονα Ox και τον φανταστικό
άξονα Oy.
Η απόλυτη τιμή του z = x + iy ορίζεται ως |z| = r = x + y . Το όρισμα του
2
2
z είναι μια γωνία φ για την οποία cosφ = x/r και sinφ = y/r. Χρησιμοποιώντας
τα r and φ μπορούμε να γράψουμε το z στην πολική μορφή z = r(cosφ+ isinφ).
Έτσι, ο μιγαδικός αριθμός z μπορεί να παρασταθεί με ένα διάνυσμα OP σε πολικές
συντεταγμένες r, φ (Σχ. 1.3).
2 2 .
. P(x, y) P
1 1 r
φ
-1 1 2 -1 1 2
Σχ. 1.2 Σχ. 1.3
1. Θεώρημα του De Moivre: Αν n είναι ένας θετικός ακέραιος και z ένας μιγα-
δικός αριθμός με απόλυτη τιμή r και όρισμα φ, τότε η n-οστή δύναμη του z είναι
z = r (cosnφ + isinnφ) Απο
n
n
και οι ρίζες βαθμού n ή n-οστές ρίζες του μιγαδικού αριθμού z είναι
f
z 1/ n = r [(cos + isin )] 1/ n = r 1/ n cos f + n k 2 p + isin f + n k 2 p
f
όπου k = 0, 1, 2, 3, …, n - 1. Έτσι, κάθε μιγαδικός αριθμός έχει n ρίζες βαθμού n.
Η μαθηματική επαγωγή
Πολλές προτάσεις που εξαρτώνται από την τιμή ενός φυσικού αριθμού μπορούν
να αποδειχτούν με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, που μπορεί να διατυπωθεί
ως εξής:
