Page 3 - Λογισμός Μίας Μεταβλητής - Κεφάλαιο 1: Αριθμοί (Demo)

Κεφ. 1 ΑΡΙΘΜΟΙ 3

⊆
⊆
⊆
⊆
Ας σημειωθεί ότι     . Ένας φυσικός αριθμός n είναι άρτιος
ή περιττός, αν υπάρχει ένας φυσικός αριθμός k τέτοιος ώστε n = 2k ή n = 2k + 1,
αντίστοιχα. Ένας πραγματικός αριθμός που δεν είναι ρητός, καλείται άρρητος. Ένας
πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί μια (μη μηδενική) πολυωνυμική εξίσωση με
ακέραιους συντελεστές καλείται αλγεβρικός. Αλλιώς καλείται υπερβατικός.
Μια μεταβλητή, όπως a, x ή z, μπορεί να παριστάνει οποιοδήποτε πραγματικό ή
μιγαδικό αριθμό. Η απόλυτη τιμή |x| ενός πραγματικού αριθμού x είναι ίση με το x
αν x ≥ 0 και με το -x αν x < 0.

Για πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς a, b, c ισχύουν οι εξής νόμοι για τις
δύο βασικές δυαδικές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού:
. .
. .
Προσεταιριστικοί νόμοι a + (b + c) = (a + b) + c, a (b c) = (a b) c
.
.
Αντιμεταθετικοί νόμοι a + b = b + a, a b = b a
.
.
.
Επιμεριστικός νόμος a (b + c) = a b + a c
.
Ύπαρξη ταυτοτικών στοιχείων 0 και 1 a + 0 = a, a 1 = a 1 ≠ 0
.
Ύπαρξη αντίστροφων στοιχείων -a και 1/a a + (-a) = 0, a (1/a) = 1 με a ≠ 0
.
Για τις απόλυτες τιμές |ab| = |a| |b|, ||a| - |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|
Για δυνάμεις πραγματικών αριθμών a, b, p, q, με a ≥ 0, b ≥ 0 και παρονομαστές
διάφορους του μηδενός, ισχύουν τα εξής: Παρ
q
q
p q
p
0
pq
p/q
p. q
a a = a p+q , a /a = a p-q , (a ) = a , a = a , a = 1 (a ≠ 0)
p
( ) p a p p p p a p a
a
a = 1/a , (ab) = a b , b = b p , ab = ab , p b = p
p p
p
-p
p
n n b
Αν a < 0 και n περιττός φυσικός αριθμός, ορίζουμε a =− || .
a
Για λογάριθμους των θετικών αριθμών A, B, c και c ≠ 1, ισχύουν τα εξής:
Η c = A ορίζει τον λογάριθμο x του A με βάση c, δηλαδή x = log A. Έχουμε
x
c
.
p
log (A B) = log A + log B, log (A/B) = log A - log B, log A = plog A
c
c
c
c
c
c
c
c
Με c = 10 έχουμε τους κοινούς λογάριθμους, με c = e = 2.71828… έχουμε τους
φυσικούς λογάριθμους.
Για να παραστήσουμε οπτικά τους πραγματικούς αριθμούς χρησιμοποιούμε
τον πραγματικό άξονα, δηλαδή μια άπειρη ευθεία γραμμή, της οποίας κάθε σημείο
παριστάνει ένα μοναδικό πραγματικό αριθμό.
-2.7 1.5 x
. O .
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
Σχ. 1.1