Page 5 - Λογισμός Μίας Μεταβλητής - Κεφάλαιο 1: Αριθμοί (Demo)

Κεφ. 1 ΑΡΙΘΜΟΙ 5

2. Έστω n ∈  και P(n) μια πρόταση (δήλωση) που έχει νόημα για κάθε φυσικό
0
αριθμό n ≥ n . Αν (α) η P(n ) είναι αληθής και (β) η P(k) για οποιοδήποτε k ≥ n
0
0
0
έπεται την P(k + 1), τότε η P(n) ισχύει (δηλαδή είναι αληθής) για κάθε n ≥ n .
0
Στην πράξη, έχουμε συνήθως n = 1, αλλά η λογική στην οποία βασίζεται
0
η μέθοδος ισχύει για κάθε n . Μερικές φορές, για να αποδείξουμε την P(k + 1) στο
0
βήμα (β) χρειαζόμαστε την P(k) για περισσότερες από μία προηγούμενες τιμές
του k, οπότε πρέπει να επαληθεύσουμε τις P(1), P(2), κτλ. Παρ
Ο τύπος του διώνυμου
Για n = 1, 2, 3, … έχουμε τον τύπο του διώνυμου Απο

 n   n   n    n 
n
(x + ) y n = x +   x n−1 y +   x n−2 y +   x n−3 3 +   y n
y +
2
n

 
1
  2
  3
Οι διωνυμικοί συντελεστές είναι
 n  nn − )( n − ) ( n k n!
2
−+ )1
1
(
  = k! = kn k)!
−
k  
!(
. . .
όπου n και k είναι ακέραιοι με 0 ≤ k ≤ n, 0! = 1 και n! = 1 2 3 4…n.
1.3 Πραγματικοί αριθμοί
Κάθε είδος αριθμών (φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί, πραγματικοί και μιγαδικοί) μπο-
ρούν να οριστούν αξιωματικά ως ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία έχουν ορι-
σμένες ιδιότητες. Οι πραγματικοί αριθμοί έχουν τις ιδιότητες διάταξης (ένας πραγ-
ματικός αριθμός είναι μικρότερος, ίσος ή μεγαλύτερος από έναν άλλο αριθμό), τις
αλγεβρικές ιδιότητες (που χαρακτηρίζουν τις δύο δυαδικές πράξεις της πρόσθεσης
και του πολλαπλασιασμού) και την ιδιότητα πληρότητας. Αυτή η τελευταία ιδιότητα
δεν αναφέρεται συχνά, αλλά είναι βασική στους ορισμούς οριακών διαδικασιών και
γενικότερα στο Λογισμό.
Έστω ότι S είναι ένα μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών (δηλαδή ένα
υποσύνολο του ). Αν υπάρχει ένας αριθμός u τέτοιος ώστε s ≤ u για κάθε s ∈ S,
τότε λέμε ότι το S είναι πάνω φραγμένο και u είναι ένα πάνω φράγμα του S. Αν
υπάρχει ένας αριθμός υ τέτοιος ώστε s ≥ υ για κάθε s ∈ S, τότε λέμε ότι το S είναι
κάτω φραγμένο και υ είναι ένα κάτω φράγμα του S. Αν ένα σύνολο S είναι κάτω και
πάνω φραγμένο, τότε λέμε απλά ότι είναι φραγμένο. Το ελάχιστο πάνω φράγμα (αν
υπάρχει) καλείται supremum του συνόλου. Το μέγιστο κάτω φράγμα (αν υπάρχει)
καλείται infimum. Μπορεί εύκολα να δειχτεί ότι ένα σύνολο S δεν μπορεί να έχει
περισσότερα από ένα supremum και/ή περισσότερα από ένα infimum. Παρ