Page 6 - Λογισμός Μίας Μεταβλητής - Κεφάλαιο 1: Αριθμοί (Demo)

6 ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφ. 1

Η ιδιότητα πληρότητας
Ένα σύνολο αριθμών S είναι πλήρες, αν περιέχει το supremum και το infimum
κάθε υποσυνόλου T ⊆ S. Η ιδιότητα πληρότητας (που καλείται και ιδιότητα του
supremum) του  μπορεί τότε να διατυπωθεί ως εξής:
3. Κάθε μη κενό, πάνω φραγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών έχει ένα su-
premum που ανήκει στο . Κάθε μη κενό, κάτω φραγμένο σύνολο πραγματικών
αριθμών έχει ένα infimum που ανήκει στο . Επομένως, το  είναι ένα πλήρες
σύνολο αριθμών. Αντίθετα, το  δεν είναι ένα πλήρες σύνολο αριθμών.
Αυτό σημαίνει ότι το  περιέχει το supremum και το infimum κάθε υποσυνόλου
του  (αν υπάρχει). Αντίθετα, ένα μη κενό, πάνω φραγμένο υποσύνολο του  (δηλ.
ένα σύνολο ρητών αριθμών) δεν έχει απαραίτητα ένα supremum που ανήκει στο .
Τονίζεται ότι το supremum ενός συνόλου S (υποσυνόλου του ) μπορεί να είναι ή να
μην είναι στοιχείο του συνόλου S. Γεωμετρικά, το supremum αποτελεί ένα σημείο
u στον πραγματικό άξονα τέτοιο ώστε (α) δεν υπάρχουν σημεία (δηλ. στοιχεία του
συνόλου S) στα δεξιά του u και (β) υπάρχουν σημεία (στοιχεία του συνόλου S) σε
κάθε τμήμα από το u - ε έως και το u με οποιοδήποτε ε > 0. Παρ
Διαστήματα

Στην πράξη χρησιμοποιούμε τις περισσότερες φορές απλά σύνολα πραγματι-
κών αριθμών που καλούνται διαστήματα.
Ένα κλειστό διάστημα [a, b] είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών ή
σημείων x με a ≤ x ≤ b.
Ένα ανοιχτό διάστημα (a, b) είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών ή
σημείων x με a < x < b.
Ένα ημιανοιχτό διάστημα (a, b] είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών ή
σημείων x με a < x ≤ b.
Ένα ημικλειστό διάστημα [a, b) είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών ή
σημείων x με a ≤ x < b.
Ένα άπειρο διάστημα εκτείνεται στο -∞ ή στο ∞. Γράφουμε [a, ∞) για a ≤ x < ∞,
(-∞, a] για -∞ < x ≤ a, κτλ. Το σύμβολο ∞ δεν είναι αριθμός, αλλά δηλώνει απλά
το άπειρο. Το διάστημα (-∞, ∞) παριστάνει το -∞ < x < ∞ και περιλαμβάνει όλους
τους πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή ολόκληρο τον πραγματικό άξονα . Επε
Μια δ-περιοχή ή γειτονιά του a είναι το σύνολο των σημείων x με |x - a| < δ.
Μια ελλιπής δ-περιοχή ή γειτονιά του a είναι το σύνολο των σημείων x με
0 < |x - a| < δ. Το σύνολο αυτό είναι μια δ-περιοχή του a από την οποία έχει
αφαιρεθεί το σημείο a.